“Oletetaan ensin mummeli möykyksi, joka on kiinni kahdessa vipuvarressa.”
[English version: click here]
Venäytin kesällä polveni nivelsiteet — kosmisessa skaalassa yhdentekevää, mutta johti mielenkiintoiseen vektorianalyysiin, ja ymmärtämään paremmin mummeleita portaissa.
Tasaisella käveleminen alkoi sujua nopeastikin. Portaita nouseminen sen sijaan vaati todellista kuntoutusta. Samalla aloin kiinnittää huomiota siihen, että vanhat mummelit puhisevat tuskaisesti kun kiipeävät ylös portaita. Miksi?
Vastaus löytyy lukiofysiikasta. Mummeli voidaan mallintaa usealla eri tavalla. Mielestäni kuva 1 on yksinkertaisin. Oletetaan ensin mummeli möykyksi, joka on kiinni kahdessa vipuvarressa (vasemmalla). Reisi ja sääri oletetaan tässä yhtä pitkiksi (pienet erot eivät muuta olennaista lopputulosta).
Pienellä miettimisellä huomaa, että jos oletetaan nilkka liikkumattomaksi, mummeli voidaan yhtä hyvin mallintaa väkipyörästönä (oikealla). Mummeli on möykky, joka roikkuu köydessä väkipyörän (lonkka) alla. Köysi kulkee toisen väkipyörän (polvi) kautta kolmanteen väkipyörään (nilkka). Nilkasta roikkuu taas mummelin painoinen möykky, jolloin systeemi on tasapainossa. Polveen kohdistuu tällöin voima F, joka pitää laskea.
Kuva 1. Mummelin mallinnus väkipyörästönä
Laskenta vaatii hieman vektorilaskentaa ja trigonometriaa (Kuva 2). Pystysuorat voimat kohdistuvat vastakkaisiin suuntiin, eli voima Fp=mg*(cosa-cosb). Vaakasuorat voimat taas summautuvat, eli Fv=mg*(sina+sinb).
Kuva 2. Vektorilaskenta
Voimavektorin magnitudi (pituus) on F= sqrt(Fp²+Fv²), josta muutaman välivaiheen kautta saadaan F=2*m*g*(1- cos(a+b)). Voima on pienin eli nolla silloin kun a+b=0. Tämä on tilanne esim suoraan seistessä tai selällään (tai vatsallaan) maatessa. Se on suurin eli 4*m*g silloin kun a+b on 180 astetta.
Vektorisummat voi piirtää graafisesti. Kuvassa 3 on kolme esimerkkitapausta. (Voima on normalisoitu pituuteen 1, eli vektorin pituus 1 tarkoittaa voimaa 2*m*g). Jos kävellessä jalat heiluvat 30 astetta, polveen kohdistuva kokonaisvoima on noin 0.5 yksikköä eli m*g. Polvi joutuu siis kannattelemaan suunnilleen mummelin oman painon.
Kuva 3. Vektorit graafisesti
Portaissa voima nouseekin äkkiä lähelle arvoa 1.5 eli 3*m*g. Voima on siis suurempi kuin mummelin oma paino. Tämä tuntuu ensin oudolta, mutta pitää muistaa että mummeli joutuu nostamaan itsensä ylöspäin oman reitensä pituisen vipuvarren päästä.
Kyykystä ylös nouseminen vaatii jo voiman 4*m*g; tosin tässä vaiheessa mallinnus ei enää välttämättä ole täysin luotettava.
Toisin sanottuna: portaissa mummelin polvi voi vipuvoimien takia joutua hetken kestämään kolme kertaa mummelin oman painon. Tämä on aika rajua, kenelle tahansa.
Kun seuraavan kerran näet mummelin mönkimässä tuskaisesti ylös portaita, muista F=2*m*g*(1- cos(a+b)). Ja pysähdy auttamaan mummelia.
Pakko peukuttaa…:)
Joku mummeli saattaisi hermostua siitä että hänet mallinnetaan möykkynä kahden vipuvarren päässä, mutta sukulaismummelit ovat selvästi tottuneet kaikkeen. :)